Aufgabe 1:
Zufallsexperiment: Biertyp angeben. Mögliche Ergebnisse: Pils oder Export
H0: der Bierkenner ist keiner, d. h. er rät einfach
H1: der Bierkenner ist wirklich ein solcher, er erkennt den Biertyp durch Hinsehen
mathematische Formulierung der Hypothesen:
H0: p = 0,5 (beim Raten haben beide Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit)
H1: p > 0,5
Entscheidungsregel: Wenn der Bierkenner mindestens k aus n Bieren richtig angibt, dann wird H0 verworfen. Wir attestieren ihm dann gewisse Fähigkeiten beim Erkennen von Biersorten.
Die Zahl k muss so bestimmt werden, dass P(X >= k) < ist.
>
restart;
p := 0.5;
bino:=x->binomial(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x);
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n := 30 ; k := 20;
wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn der Proband mindestens 20 von 30 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.
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n:= 50 ; k := 32;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn der Proband mindestens 32 von 50 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.
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n:= 60 ; k := 37;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn der Proband mindestens 37 von 60 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.
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n:= 100 ; k := 59;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn der Proband mindestens 59 von 100 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.
Aufgabe 2:
X: Anzahl der Wähler von A
H0: p >= 0,6 , H1: p < 0,6
Entscheidungsregel: wenn höchstens k aus n befragten Personen angeben, die Partei A zu wählen, wird H0 verworfen.
P(X <= k) < 0,05 (unter der Voraussetzung, dass p >= 0,6 ist)
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n := 30 ; k := 13;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 13 von 30 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.
>
n:= 50 ; k := 23;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 23 von 50 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.
>
n:= 60 ; k := 29;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 29 von 60 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.
>
n:= 100 ; k := 51;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 51 von 100 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.
Aufgabe 3:
X: Anzahl der Autos ohne späteren Defekt.
H0: p >= 0,6 , H1: p < 0,6
Entscheidungsregel: wenn höchstens k aus n Autos ohne Defekt bleiben, wird H0 verworfen.
P(X <= k) <= 0,05 (unter der Voraussetzung, dass p >= 0,6 ist)
>
n := 30 ; k := 13;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 13 von 30 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.
>
n:= 50 ; k := 23 ;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 23 von 50 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.
>
n:= 60 ; k := 29; wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 29 von 60 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.
>
n:= 100 ; k := 51;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn höchstens 51 von 100 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.
Aufgabe 4:
X: Anzahl der immunisierten Personen
H0: p >= 0,8 , H1: p < 0,8
Entscheidungsregel: wenn aus n Personen höchstens k immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.
P(X <= k) <= 0,02 (unter der Voraussetzung, dass p >= 0,8 ist)
>
n := 30 ; k := 18;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 30 Patienten höchstens 18 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.
>
n:= 50 ; k := 33 ;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 50 Patienten höchstens 33 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.
>
n:= 60 ; k := 40;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 60 Patienten höchstens 40 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.
>
n:= 100 ; k := 70;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 100 Patienten höchstens 70 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.
Aufgabe 5:
X: Anzahl Patienten mit Nebenwirkungen
H0: p <= 0,1 , H1: p > 0,1
Entscheidungsregel: Wenn von n Patienten mindestens k Nebenwirkungen verspüren, wird H0 verworfen.
P(X >= k) >= 0,01 (unter der Voraussetzung, dass p <= 0,1 ist).
>
n := 30 ; k := 8;
wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn von 30 Patienten mindestens 8 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.
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n:= 50 ; k := 11 ;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn von 50 Patienten mindestens11 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.
>
n:= 60 ; k := 13;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn von 60 Patienten mindestens 13 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.
>
n:= 100 ; k := 19;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);
Wenn von 100 Patienten mindestens 19 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.
Aufgabe 6:
X: Anzahl der Brillenträger in der Stichprobe
H0: p >= 0,25 , H1: p < 0,25
Entscheidungsregel: Wenn von n Befragten höchstens k Brillenträger sind, wird H0 verworfen.
>
n := 30 ; k := 3;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 30 Befragten höchstens 3 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.
>
n:= 50 ; k := 7 ;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 50 Befragten höchstens 7 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.
>
n:= 60 ; k := 9;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 60 Befragten höchstens 9 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.
>
n:= 100 ; k := 17;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);
Wenn von 100 Befragten höchstens 17 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.
Aufgabe 7:
H0: p <= 0,25 , H1: p > 0,25
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n := 100 ; k := 32;
wkt:=sum(bino(i),i=k..100);
P(X >= 32) = 0,0693 > 0,05. Also kann H0 auf dem 5%-Niveau nicht verworfen werden.