Aufgabe 1:

Zufallsexperiment: Biertyp angeben. Mögliche Ergebnisse: Pils oder Export
H0: der Bierkenner ist keiner, d. h. er rät einfach
H1: der Bierkenner ist wirklich ein solcher, er erkennt den Biertyp durch Hinsehen
mathematische Formulierung der Hypothesen:
H0: p = 0,5 (beim Raten haben beide Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit)
H1: p > 0,5
Entscheidungsregel: Wenn der Bierkenner mindestens k aus n Bieren richtig angibt, dann wird H0 verworfen. Wir attestieren ihm dann gewisse Fähigkeiten beim Erkennen von Biersorten.

Die Zahl k muss so bestimmt werden, dass P(X >= k) < ist.


> restart;
p := 0.5;
bino:=x->binomial(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x);

p := .5

bino := proc (x) options operator, arrow; binomial(...

> n := 30 ; k := 20;
wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 30

k := 20

wkt := .4936857335e-1


Wenn der Proband mindestens 20 von 30 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.


> n:= 50 ; k := 32;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 50

k := 32

wkt := .3245432354e-1


Wenn der Proband mindestens 32 von 50 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.


> n:= 60 ; k := 37;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 60

k := 37

wkt := .4623049054e-1


Wenn der Proband mindestens 37 von 60 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.


> n:= 100 ; k := 59;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 100

k := 59

wkt := .4431304006e-1


Wenn der Proband mindestens 59 von 100 Sorten richtig erkennt, dann bescheinigen wir ihm die behauptete Fähigkeit.




Aufgabe 2:

X: Anzahl der Wähler von A

H0: p >= 0,6 , H1: p < 0,6
Entscheidungsregel: wenn höchstens k aus n befragten Personen angeben, die Partei A zu wählen, wird H0 verworfen.
P(X <= k) < 0,05 (unter der Voraussetzung, dass p >= 0,6 ist)

p := .6

bino := proc (x) options operator, arrow; binomial(...

> n := 30 ; k := 13;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 30

k := 13

wkt := .4811171277e-1


Wenn höchstens 13 von 30 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.

> n:= 50 ; k := 23;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 50

k := 23

wkt := .3140555310e-1


Wenn höchstens 23 von 50 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.


> n:= 60 ; k := 29;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 60

k := 29

wkt := .4448031418e-1


Wenn höchstens 29 von 60 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.


> n:= 100 ; k := 51;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 100

k := 51

wkt := .4230142019e-1


Wenn höchstens 51 von 100 Befragten für A stimmen, gehen wir davon aus, dass der Anteil gesunken ist.




Aufgabe 3:

X: Anzahl der Autos ohne späteren Defekt.
H0: p >= 0,6 , H1: p < 0,6

Entscheidungsregel: wenn höchstens k aus n Autos ohne Defekt bleiben, wird H0 verworfen.
P(X <= k) <= 0,05 (unter der Voraussetzung, dass p >= 0,6 ist)

> n := 30 ; k := 13;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 30

k := 18


Wenn höchstens 13 von 30 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.


> n:= 50 ; k := 23 ;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 50

k := 33


Wenn höchstens 23 von 50 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.


> n:= 60 ; k := 29; wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 60

k := 40


Wenn höchstens 29 von 60 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.


> n:= 100 ; k := 51;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 100

k := 70


Wenn höchstens 51 von 100 Autos ohne Defekt bleiben, gehen wir davon aus, dass der Händler nicht recht hat.




Aufgabe 4:

X: Anzahl der immunisierten Personen

H0: p >= 0,8 , H1: p < 0,8

Entscheidungsregel: wenn aus n Personen höchstens k immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.
P(X <= k) <= 0,02 (unter der Voraussetzung, dass p >= 0,8 ist)

> n := 30 ; k := 18;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 30

k := 18

wkt := .9493122175e-2


Wenn von 30 Patienten höchstens 18 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.

> n:= 50 ; k := 33 ;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 50

k := 33

wkt := .1444165732e-1


Wenn von 50 Patienten höchstens 33 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.

> n:= 60 ; k := 40;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 60

k := 40

wkt := .1066829757e-1


Wenn von 60 Patienten höchstens 40 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.

> n:= 100 ; k := 70;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 100

k := 70

wkt := .1124897872e-1


Wenn von 100 Patienten höchstens 70 immunisiert werden, dann wird H0 verworfen.




Aufgabe 5:

X: Anzahl Patienten mit Nebenwirkungen

H0: p <= 0,1 , H1: p > 0,1

Entscheidungsregel: Wenn von n Patienten mindestens k Nebenwirkungen verspüren, wird H0 verworfen.
P(X >= k) >= 0,01 (unter der Voraussetzung, dass p <= 0,1 ist).

> n := 30 ; k := 8;
wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 30

k := 7

wkt := .2582678866e-1


Wenn von 30 Patienten mindestens 8 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.

> n:= 50 ; k := 11 ;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 50

k := 11

wkt := .9354601587e-2


Wenn von 50 Patienten mindestens11 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.

> n:= 60 ; k := 13;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 60

k := 13


Wenn von 60 Patienten mindestens 13 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.

wkt := .5681005048e-2

> n:= 100 ; k := 19;wkt:=sum(bino(i),i=k..n);

n := 100

k := 19

wkt := .4580754180e-2


Wenn von 100 Patienten mindestens 19 Nebenwirkungen zeigen, glauben wir dem Hersteller nicht.



Aufgabe 6:

X: Anzahl der Brillenträger in der Stichprobe

H0: p >= 0,25 , H1: p < 0,25

Entscheidungsregel: Wenn von n Befragten höchstens k Brillenträger sind, wird H0 verworfen.

> n := 30 ; k := 3;
wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 30

k := 3

wkt := .3744932572e-1


Wenn von 30 Befragten höchstens 3 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.

> n:= 50 ; k := 7 ;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 50

k := 7

wkt := .4525584649e-1


Wenn von 50 Befragten höchstens 7 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.

> n:= 60 ; k := 9;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 60

k := 9

wkt := .4516748149e-1


Wenn von 60 Befragten höchstens 9 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.

> n:= 100 ; k := 17;wkt:=sum(bino(i),i=0..k);

n := 100

k := 17

wkt := .3762626370e-1


Wenn von 100 Befragten höchstens 17 Brillenträger sind, verwerfen wir die Behauptung.


Aufgabe 7:

H0: p <= 0,25 , H1: p > 0,25

> n := 100 ; k := 32;
wkt:=sum(bino(i),i=k..100);

n := 100

k := 32

wkt := .6934888914e-1


P(X >= 32) = 0,0693 > 0,05. Also kann H0 auf dem 5%-Niveau nicht verworfen werden.