Polynomdivision

Für die Bestimmung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f ist es günstig, wenn der Funktionsterm in faktorisierter Form vorliegt.
Diese erhalten wir durch Ausklammern.

Ein Beispiel:
Faktorisieren Sie den Term x⁴ +x³ – 2x² + 4x – 24. Klammern Sie dazu in einem ersten Schritt den Faktor (x – 2) und in einem zweiten den Faktor (x + 3) aus.

Wir formen den Term so um, dass wir den gewünschten Faktor ausklammern können.
Dazu ergänzen wir jeweils geschickt so, dass zwei aufeinanderfolgende Summanden den Faktor enthalten:

x⁴ + x³ – 2x² + 4x – 24 = x⁴ – 2x³ + 3x³ – 6x² + 4x² – 8x + 12x – 24 =
= x³·(x – 2) +3x²·(x – 2)+ 4x·(x – 2) + 12·(x – 2) = (x – 2)·(x³ + 3x² + 4x + 12)

(x – 2)·(x³ + 3x² + 4x + 12) = (x – 2)[x²·(x + 3) + 4·(x + 3)] = (x – 2)·(x + 3)·(x² + 4)

Dem faktorisierten Term können wir jetzt z. B. leicht die Nullstellen entnehmen.

Beim Ausklammern können wir nach dem folgenden Schema vorgehen:


Dabei erhalten wir die oben erzeugten Summanden praktisch durch „Zurückmultiplizieren“ mit den ausgeklammerten Faktoren.

Wegen der starken Ähnlichkeit zum schriftlichen Divisionsverfahren spricht man hier von Polynomdivision.


Bleibt noch ein Problem zu klären: woher wissen wir, welcher Faktor sich ausklammern läßt ?

Wie schon bekannt ist, läßt sich das Polynom f(x) zerlegen in (x – x₀)·q(x) , wenn x₀ eine Nullstelle der zugehörigen Funktion f ist.

Hier hilft nur gezieltes Probieren weiter, das uns durch den folgenden Satz erleichtert wird:

Ist f(x) ein Polynom mit nur ganzzahligen Koeffizienten und den absoluten Summanden a₀, dann ist jede ganzzahlige Nullstelle der zugehörigen ganzrationalen Funktion f ein Teiler von a₀.

Wir können uns beim Probieren also auf die Teiler des absoluten Summaden beschränken, wenn wir durch geschicktes Multiplizieren oder Ausklammern der erreicht haben, dass nur noch ganzzahlige Exponenten auftreten.



Beispiel:

Faktorisieren Sie x⁵ + 3x⁴ + x³ – x – .

Wir klammern zunächst den Faktor aus und erhalten
x⁵ + 3x⁴ + x³ – x – = ·(3x⁵ + 9x⁴ + 8x³ – 3x – 1)

Das Polynom 3x⁵ + 9x⁴ + 8x³ – 3x – 1 enthält nur noch ganzzahlige Koeffizienten, also können wir den Satz anwenden und sehen, dass die einzigen möglichen ganzzahligen Nullstellen bei +1 oder bei –1 liegen können.

Achtung: Der Satz sagt nicht aus, dass es überhaupt ganzzahlige Nullstellen geben muss, er sagt nur: wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann ist sie unter den Teilern des absoluten Summanden zu finden.

Im Beispiel gibt es also nur die beiden Kandidaten +1 und –1.

3(+1)⁵ + 9(+1)⁴ + 8(+1)³ – 3(+1) – 1 = 3 + 9 + 8 – 3 – 1 = 16 ‚ 0
3(–1)⁵ + 9(–1)⁴ + 8(–1)³ – 3(–1) – 1 = –3 + 9 – 8 + 3 – 1 = 0

Der Faktor (x – (–1)) = (x + 1) läßt sich also Ausklammern.
Führen Sie die Rechnung durch.

Beachten Sie dabei:
Aus Gründen der Übersichtlichkeit empfiehlt es sich, jedes Polynom so zu schreiben, dass keine x-Potenz zwischen dem Grad und der 0 ausgelassen wird.

Das Polynom 3x⁵ + 9x⁴ + 8x³ – 3x – 1 sollte also so geschrieben werden:

3x⁵ + 9x⁴ + 8x³ + 0·x² – 3x – 1

bevor die Division ausgeführt wird.

Endergebnis:

x⁵ + 3x⁴ + x³ – x – = ·(3x² – 1)·(x + 1)³