a) x3 + 2x2 – 17x + 6 ; Faktor: (x – 3)
b) x4 + 2x3 – 4x2 – 9x – 2 ; Faktor : (x + 2)
c) x4 – 6x3 + 2x2 + 12x – 8 ; Faktor: (x2 – 2)
d) x4 – 9x3 + 27x2 – 31x + 12 ; Faktor: (x2 – 2x + 1)
2 Bestimmen Sie jeweils alle Nullstellen der Funktion f mit
a) f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6
b) f(x) = x3 + x2 – 4x – 4
c) f(x) = 4x3 – 3x – 1
d) f(x) = 4x3 – 8x2 – 11x – 3
e) f(x) = 4x3 – 13x + 6
f) f(x) = 25x3 + 15x2 – 9x + 1
g) f(x) = 4x3 – 20x2 – x + 110
h) f(x) = 4x3 – 24x2 – x + 6
3 Bestimmen Sie alle x-Werte, für die die Funktion f den angegebenen Funktionswert annimmt:
a) f(x) = 0,5x2 – 4x + 11 ; a = 5
b) f(x) = 2x3 – 4x2 + 5x ; a = 3
c) f(x) = – 3x3 + 4x2 + 1 ; a = –7
d) f(x) = 5 – 2x2 + 3x – x3 ; a = 5
4 Bestimmen Sie alle Schnittpunkte der Schaubilder der folgenden Funktionen f und g:
a) f(x) = x3 – 3x2 – 2x + 3 ; g(x) = –2x3 + 3x2 – 2x
b) f(x) = x3 – 4x2 + x – 1 ; g(x) = x2 – 3x – 1
c) f(x) = 3x4 – 2x3 + 4x – 1 ; g(x) = 2x4 – 3x3 + x2 + 3x + 1
5 Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f und zerlegen Sie den Funktionsterm in Linearfaktoren. Untersuchen Sie das Verhalten von f für große |x| und skizzieren Sie mithilfe der Ergebnisse den Verlauf des Schaubilds von f.
a) f(x) = x3 – x2 – 2x
b) f(x) = – x3 + 2x2 + x – 2
c) f(x) = – x4 + 5x2 – 4
d)
6 Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x) = 2x3 – tx2 + 8x , t
.a) Berechnen Sie die Nullstellen von f2 , f10 und f–10 .
b) Für welche t
hat ft drei verschiedene Nullstellen ?c) Bestimmen Sie t
so, dass ft die Nullstelle 2 hat.7 In einem senkrechten Kreiskegel mit dem Grundkreisradius und der Höhe 10 cm soll ein senkrechter Kreiszylinder mit dem Radius r cm einbeschrieben werden.
a) Zeigen Sie, dass der Zylinder das Volumen V(r) =
· (10r2 – r3) besitzt (in cm3).b) Weisen Sie nach, dass bei einem Radius von 5 cm das Zylindervolumen
des Kegelvolumens beträgt.c) Gibt es andere Radien, bei denen das Volumen des Zylinders ebenfalls
des Kegelvolumens ist ?